Divisibilité par 182 - Corrigé

Énoncé

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .

1. Montrer que $n^{13}$ est congru à $n$ modulo $2$ .

2. Montrer que  $n^{13}-n$ est divisible par $13$ .

3. Montrer que $n^{13}-n$ est divisible par $7$ .

4. En déduire que $n^{13}-n$ est divisible par $182$ .

Solution

1. On raisonne par disjonction de cas :

• si $n\equiv 0[2]$ , alors $n^{13}\equiv 0^{13}\equiv 0[2]$ et donc $n^{13}\equiv n[2]$ ;
• si $n\equiv 1[2]$ , alors $n^{13}\equiv 1^{13}\equiv 1[2]$ et donc $n^{13}\equiv n[2]$ .

2. D'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a : $n^{13}-n\equiv 0[13]$ , autrement dit $n^{13}-n$ est divisible par $13$ .

3. D'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a : $n^7\equiv n[7]$ .
On en déduit que :  $n^{13}\equiv n^7\times n^6\equiv n\times n^6\equiv n^7\equiv n[7]$  donc $n^{13}-n\equiv 0[7]$ , autrement dit $n^{13}-n$ est divisible par $7$ .

4. D'après les questions 2 et 3, $n^{13}-n$ est divisible par $13$ et $7$ . Comme $13$ et $7$ sont premiers entre eux, on déduit du corollaire du théorème de Gauss que $n^{13}-n$ est divisible par $13\times 7=91$ .
De plus, d'après la question 1, $n^{13}-n$ est divisible par $2$ .
Comme $91$ et $2$ sont premiers entre eux, on déduit du corollaire du théorème de Gauss que $n^{13}-n$ est divisible par $91\times 2=182$ .