Divisibilité par 182 - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

1. Montrer que \(n^{13}\) est congru à \(n\) modulo \(2\) .

2. Montrer que  \(n^{13}-n\) est divisible par \(13\) .

3. Montrer que \(n^{13}-n\) est divisible par \(7\) .

4. En déduire que \(n^{13}-n\) est divisible par \(182\) .

Solution

1. On raisonne par disjonction de cas :

• si \(n \equiv 0 \ [2]\) , alors \(n^{13} \equiv 0^{13} \equiv 0 \ [2]\) et donc \(n^{13} \equiv n \ [2]\) ;
• si \(n \equiv 1 \ [2]\) , alors \(n^{13} \equiv 1^{13} \equiv 1 \ [2]\) et donc \(n^{13} \equiv n \ [2]\) .

2. D'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a : \(n^{13}-n \equiv 0 \ [13]\) , autrement dit \(n^{13}-n\) est divisible par \(13\) .

3. D'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a : \(n^7 \equiv n \ [7]\) .
On en déduit que :  \(n^{13} \equiv n^7 \times n^6 \equiv n \times n^6 \equiv n^7 \equiv n \ [7]\)  donc \(n^{13}-n \equiv 0 \ [7]\) , autrement dit \(n^{13}-n\) est divisible par \(7\) .

4. D'après les questions 2 et 3, \(n^{13}-n\) est divisible par \(13\) et \(7\) . Comme \(13\) et \(7\) sont premiers entre eux, on déduit du corollaire du théorème de Gauss que \(n^{13}-n\) est divisible par \(13 \times 7=91\) .
De plus, d'après la question 1, \(n^{13}-n\) est divisible par \(2\) .
Comme \(91\) et \(2\) sont premiers entre eux, on déduit du corollaire du théorème de Gauss que \(n^{13}-n\) est divisible par \(91 \times 2=182\) .