Divisibilité par 182 - Corrigé

Modifié par Clemni

Énoncé

Soit nN .

1. Montrer que n13 est congru à n modulo 2 .

2. Montrer que  n13n est divisible par 13 .

3. Montrer que n13n est divisible par 7 .

4. En déduire que n13n est divisible par 182 .

Solution

1. On raisonne par disjonction de cas :

  • si n0 [2] , alors n130130 [2] et donc n13n [2] ;
  • si n1 [2] , alors n131131 [2] et donc n13n [2] .

2. D'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a : n13n0 [13] , autrement dit n13n est divisible par 13 .

3. D'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a : n7n [7] .
On en déduit que :  n13n7×n6n×n6n7n [7]  donc n13n0 [7] , autrement dit n13n est divisible par 7 .

4. D'après les questions 2 et 3, n13n est divisible par 13 et 7 . Comme 13 et 7 sont premiers entre eux, on déduit du corollaire du théorème de Gauss que n13n est divisible par 13×7=91 .
De plus, d'après la question 1, n13n est divisible par 2 .
Comme 91 et 2 sont premiers entre eux, on déduit du corollaire du théorème de Gauss que n13n est divisible par 91×2=182 .

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